ریاضیات پایه و آموزش عالی

یکی از محبوب ترین داستان های موجود در تاریخچه ی ریاضیات و ریاضی دانان، زندگی نامه ریاضی دان نامی « کارل فردریک گاوس Carl Friedrich Gauss - 1777-1855 » است .

وی در سن 10 سالگی مجموع اعداد 1 تا 100 را به طور ذهنی، در شرایطی که به کارهای دیگر مشغول بود، به دست می آورد.

روشی که او برای محاسبه ی مجموع اعداد 1 تا 100 ارائه کرده، برای آموزش به دانش آموزان، بسیار مناسب است. حتما ً کسانی که کمی با دنباله های اعداد سروکار داشته اند این روش را می شناسند اما شاید ندانند که این روش به روش گاوس مشهور است.

روند کار این گونه است که :

اولین عدد ( یعنی 1 ) را با آخرین عدد ( یعنی 100 ) جمع می کنیم، حاصل 101 می شود.

دومین عدد ( یعنی 2 ) را با عدد قبل از آخر یعنی 99 جمع می کنیم، حاصل 101 می شود.

به همین ترتیب ادامه می دهی تا به اعداد 50 و 51 می رسیم :

اکنون مجموع این 50 جفت عدد برابر است با :

جالب است بدانید اگر شما هر دنباله ترتیبی از اعداد صحیح داشته باشید، با همین روش می توانید مجموع آن ها را بیابید. این ها کارهایی است که گاوس در سن 10 سالگی ! انجام می داد.

فرمول عمومی برای محاسبه ی مجموع ِ n عدد صحیح متوالی که a نخستین آن ها و b آخرین آن هاست، به صورت زیر است :

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه2 فایل ورد

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه2  فایل pdf

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه3 فایل ورد

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه3 فایل pdf

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه4

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه5

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه6

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه7

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه8

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه9

نمونه سوالات ریاضی نهم فصل اول مجموعه ها نمونه10

سوالات تستی ریاضی نهم فصل اول با پاسخ

تاكنون ما حركت‌هایی را بررسی نمودیم كه در راستای خط مستقیم صورت می‌پذیرفت. (مثل حركت مورچه بر محور x در شكل زیر) اما در حالت كلی ممكن است حركت در فضای دو بعدی (حركت لاك پشت) یا سه بعدی (زنبور) صورت گیرد.

اگر چه ما می‌توانیم حركت در بعد دو  و سه را با حركت در فضای یك بعدی تقریب بزنیم اما اكنون درصدد آن هستیم كه این حركت‌ها را در حالت عمومی بررسی نماییم.

بردار جابجایی

فرض كنید یك لاك پشت كوچك را بر روی یك تكه كاغذ در نقطه p_٠ قرار دهید و آن را برای مدتی ترك كنید.

وقتی باز می‌گردید، لاك پشت در موقعیت جدید P_f كشف می‌شود! ما هیچ اطلاعاتی از مسیر حركت آن نداریم، اما می‌دانیم كه لاك پشت حركت كرده است.

جا به جایی لاك پشت عبارت از خط مستقیمی است كه از نقطه p_٠ شروع شده و به نقطه P_f ختم می‌گردد.

بنابراین هم طول و هم جهت دارد. مسیر پر پیچ و خم حركت خزنده به نقطه‌ای به فاصله ١٠cm در جهت شمال شرق ختم گشته است. پس می‌توان جا به جایی لاك پشت را با یك بردار نشان داد.

جا به جایی یك جسم از نقطه شروع p_٠ ، برداری است كه از آن نقطه شروع شده و به موقعیتی كه جسم قرار دارد ختم می‌شود.

جا به جایی اغلب مهم است. به عنوان مثال فوتبالیستی را در نظر بگیرید كه درصدد پاس دادن به فرد دیگری است. بدیهی است برای وی فاصله و جهت آن فرد مهم است. 

بردار جا به جایی را با نماد  نشان می‌دهیم. نمادی كه از ابتدای كلمه فضای بین دو جسم (space) اقتباس شده است.

1. عددی به شکل a+bi که در ان a و b دو عدد حقیقی و i قسمت موهومی است را یک عدد مختلط می نامیم. خاصیت اصلی و اساسی i به این صورت است که: i2=−1
2. اعداد مختلط z=a+bi و z¯=a−bi را مزدوج یکدیگر می نامند. 

3. اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت، یعنی عدد حقیقی a معادل است با عدد مختلط a+0i

4. دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d. به عبارت دیگر دو عدد مختلط فقط زمانی برابر هستند که نمایش هندسی آن ها یک نقطه واحد باشد!